Teilaufgabe 1: Erzeugung und Führung des Elektronenstrahls im REM
a) An der Glühwendel liegt eine Heizspannung \(U_H\) an, die die Temperatur so weit erhöht, bis (durch den glühelektrischen Effekt) Elektronen austreten. Die freien Elektronen sammeln sich zunächst um die Glühwendel und werden dann von einer Beschleunigungsspannung \(U_B\) zur Lochanode hin beschleunigt.
Damit das elektrische Feld, welches durch \(U_B\) verursacht wird, ständig die Elektronen in Richtung der Lochanode beschleunigt, muss es sich bei der Beschleunigungsspannung um eine Gleichspannung halten.
Die Glühwendel kann durch eine Gleich- oder Wechselspannung beheizt werden, da dies für die Erhitzung keinen Unterschied macht.
b) Die anfängliche potenzielle Energie der Elektronen \(E_{\text{pot}} = e\cdot U_B\) wird beim Durchlaufen der Beschleunigungsspannung in kinetische Energie \( E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m_0 \cdot v² \) umgewandelt. Wegen Energieerhaltung können beide Terme gleichgesetzt werden: \( E_{\text{kin}} = E_{\text{pot}} \Leftrightarrow e \cdot U_B = \frac{1}{2} \cdot m_0 \cdot v² \Leftrightarrow v = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U_B}{m_0}} \).
Mit \(v= 0,10 \cdot c \) folgt für \(U_{\text{B,max}} \): \( = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U_{\text{B,max}}}{m_0}} \Leftrightarrow U_{\text{B,max}} = \frac{(0,10 \cdot c)^2 \cdot m_0}{2 \cdot e} = 2,6 \cdot 10^3 \, \text{V}\). Solange dieser Spannungswert nicht überschritten wird, können die Elektronen ohne relativistische Korrekturen beschrieben werden.
Das REM wird mit \(U_{\text{B,min}} = 0,10 \, \text{kV}\) betrieben, weshalb die Elektronen die Elektronenkanone mit einer minimalen kinetischen Energie von \(E_{\text{kin,min}} = 0,10 \cdot 10^3 \, \text{eV} \) verlassen. Mit Hilfe des gegebenen Zusammenhangs und der Werte ergibt sich \( \Delta E_{\text{kin}} = 2,8 \cdot 10^{-11} \, \text{eV} \). Da dieser Wert wesentlich kleiner als der zuvor genannte Minimalwert ist, kann die Zunahme der kinetischen Energie aufgrund der Bewegung im Erdgravitationsfeld vernachlässigt werden.
c) Damit die Elektronen sich auf der abgebildeten Bahnkurve bewegen, muss die rechte Kondensatorplatte positiv gegenüber der linken Kondensatorplatte geladen sein. Die Stärke des entstehenden elektrischen Felds wird bestimmt durch die Ablenkspannung \(U_A\). Im homogenen E-Feld wird das Elektron in horizontale Richtung beschleunigt: \(a = \frac{F_{el}}{m_0}=\frac{e \cdot E}{m_0} = \frac{e \cdot U_A}{m_0 \cdot d} \).
Die Richtung und der Betrag der horizontalen Beschleunigung bestimmt, wo das Elektron auftrifft. Da diese Werte von der Ablenkspannung abhängen, kann durch Variation von \(U_A\) der Auftreffpunkt der Elektronen beliebig zwischen dem rechten und dem linken Ende des Objekts gewählt werden.
Teilaufgabe 2: Detektion von Elektronen
a) Wenn ein schnelles Elektron auf ein Atom trifft, kann es genug Energie übertragen, um ein oder mehrere Elektronen aus der Elektronenhülle herauszuschlagen. Das Atom wird dadurch ionisiert und das freigesetzte Elektron wird zu einem freien Elektron. Dafür muss das schnelle Elektron eine hohe kinetische Energie haben, um die (negative) Bindungsenergie der Hüllenelektronen zu überwinden.
b) Um die Anordnung geradlinig zu durchlaufen, müssen sich alle Kräfte die auf das Elektron wirken gegenseitig aufheben. Die Kraft des Magnetfelds muss also von ein einer betragsmäßig gleichen, aber genau entgegengesetzt gerichteten elektrischen Feldkraft ausgeglichen werden: \(F_{\text{el}} = F_{\text{L}} \)
Das Einsetzen der Formeln für beide Kräfte ergibt für den Fall, dass die Elektronen sich senkrecht zu den Feldlinien der Felder bewegt:
\(F_{\text{el}} = F_{\text{L}} \Leftrightarrow e\cdot E = e\cdot v \cdot B \Leftrightarrow v = \frac{E}{B} \)
Wenn die Beschleunigungsspannung \(U_B\) verändert wird, ändert sich auch die Geschwindigkeit \(v\) der Elektronen. Da der Betrag der Lorentzkraft im Magnetfeld von der Geschwindigkeit der Teilchen abhängig ist, gilt das Kräftegleichgewicht \(F_L = F_{el}\) nicht mehr. Um dieses wieder herzustellen, muss auch die elektrische Feldkraft angepasst werden. Da diese von der Spannung \(U_S\) abhängig ist, kann die Änderung dieser Spannung die Gleichgewichtsbedingung wieder herstellen.
c) Die Elektronen, die aus dem abzubildenden Objekt austreten, werden (in Richtung des Detektors) nach rechts abgelenkt, da die elektrische Feldkraft des Kondensators in diese Richtung gerichtet ist. Durch die Lorentzkraft wird die Bahn des Elektrons zusätzlich Richtung Detektor gekrümmt.
d) Das Licht besitzt einen Welle-Teilchen-Dualismus. Das heißt manche seiner Eigenschaften können mit einem Wellenmodell und andere mit einem Teilchenmodell besser erklärt werden. De Broglie schlug nun auch für Materie einen Wellencharakter vor, obwohl diese zuvor nur als Teilchen beschrieben wurden.
Der Zusammenhang für die Wellenlänge \(\lambda\) von Photonen ergibt sich aus den Gleichungen für die Photonenenergie \(E = h \cdot f = h \cdot \frac{c}{\lambda}\) und die Energie-Masse-Äquivalenz \(E= m\cdot c²\).
Gleichsetzen beider Energieterme liefert:
\(h \cdot \frac{c}{\lambda} = m \cdot c² \Leftrightarrow \lambda = \frac{h}{m\cdot c} = \frac{h}{p} \)
Mit diesem Ausdruck für die Wellenlänge und dem Ausdruck für die Geschwindigkeit aus Teilaufgabe 1 ergibt sich:
\( \lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \cdot e\cdot U_B \cdot m_0}} \)
Die gegebenen Werte liefern \( \lambda = 25,6 \, \text{pm} \).
Wenn Elektronen an Atomen abprallen, die in Netzebenen angeordnet sind, können ihre gestreuten Wellen sich überlagern. Die gefundene Wellenlänge der Elektronen ist ungefähr ein Viertel des Gitterabstands. Die Gangunterschiede bei der Streuung an benachbarten Atomen in übereinanderliegenden Netzebenen ergeben sich daher Gangunterschiede bis zum Vierfachen der De-Broglie-Wellenlänge. Dies führt zu einer Verstärkung oder auch Auslöschung der gestreuten Materiewellen.
Teilaufgabe 3: Fokussierung des Elektronenstrahls
a) Von links beginnend verringert sich die Magnetfeldstärke kontinuierlich, bis sie im Schnittpunkt von x- und z- Achse auf null sinkt. In Richtung der positiven x-Achse steigt der Betrag der Feldstärke wieder an. Die Magnetfeldstärke ist punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems.
Im Punkt P hat das Magnetfeld eine stärke von \(B=0\), weshalb auch die Lorentzkraft diesen Wert hat: \(F_L=0\).
b) Mit Hilfe der Drei-Finger-Regel kann die Richtung der Lorentzkraft in den Punkten Q, S, R und T bestimmt werden. Demnach ist die Kraft in Q und S in Richtung des Punktes P ausgerichtet. Der Elektronenstrahl wird also in Richtung der z-Achse gebündelt. In den Punkten R und T ist die Lorentzkraft nach außen gerichtet, wodurch der Elektronenstrahl in Richtung der x-Achse aufgeweitet wird.
c) Eine Drehung des Quadrupolmagneten um 90° vertauscht die Kraftrichtungen bezüglich der x- und z-Achse. Entsprechend wird der Elektronenstrahl jetzt in Richtung der x-Achse gebündelt und in Richtung der z-Achse aufgeweitet. Der Querschnitt des Elektronenstrahls ist beim Eintritt in den zweiten Magneten nicht mehr kreisförmig. Da das Magnetfeld in Richtung des Punkts P abnimmt, ist die bündelnde Wirkung des Felds in x-Richtung stärker als die aufweitende Wirkung des Magnetfelds in z-Richtung. Zusammengenommen bündeln die beiden Quadrupolmagneten den Elektronenstrahl sowohl in z- als auch in x-Richtung.