Teilaufgabe 1: Gedankenexperiment „Lichtuhr“
a) Um signifikante Effekte in realen Experimenten zu erzielen, erfordert es einen aufwendigen Aufbau und hohe Geschwindigkeiten. Bei niedrigen Geschwindigkeiten im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit sind die Auswirkungen der speziellen Relativitätstheorie (SRT) gering und daher aufgrund der notwendigen Präzision nur schwer messbar.
Um zu berechnen, wie lange das Licht von einem Spiegel zum anderen benötigt, wird folgende Formel verwendet:
\( T = \frac{L}{c} \)
mit den gegebenen Werten ergibt sich:
\( T = \frac{6 \cdot 10^6 \, \text{m}}{3 \cdot 10^8 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}} = 0,02 \, \text{s}.\)
Die Längenkontraktion der SRT wirkt nicht auf die Raumdimension senkrecht zur Bewegungsrichtung aus, sondern lediglich auf die parallele Raumdimension. Daher ist der Abstand L gleich groß.
Die linke Gleichung verwendet den Satz des Pythagoras, der auf das rechtwinklige Dreieck in Abbildung 2 angewendet wird. Die Hypotenuse ist der Lichtweg L‘ und die Katheten sind der Spiegelabstand L, so wie die zurückgelegte Strecke des Spiegels v \(\cdot\)T‘.
In beiden Gleichungen wird der Wert c für die Lichtgeschwindigkeit verwendet, wodurch ihre Invarianz (bzw. Konstanz) impliziert wird.
b) Mit der gegebenen Formel lässt sich durch Einsetzen der Wert für T‘ bestimmen:
\( T‘ = \frac{T}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \frac{100\, \text{s}}{\sqrt{1-\frac{(0,080 \, \text{c})^2}{c^2}}} = \frac{100 \, \text{s}}{\sqrt{0,36}} = 1,7 \cdot 10^2 \, \text{s} . \)
Mit einer geringen Geschwindigkeit, zum Beispiel v = 0,001 c ergibt sich:
\( T‘ = \frac{T}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \frac{\text{T}}{\sqrt{1-\frac{(0,001 \, \text{c})^2}{c^2}}} = \frac{\text{T}}{\sqrt{0,999999}} \approx \text{T} . \)
Teilaufgabe 2: Zeitdilatation und Längenkontraktion in der SRT
Der Dilatationsfaktor ergibt sich zu
\( \frac{T‘}{T} = 2,0\)
womit sich die Gleichung für die Zeitdilatation wie folgt umstellen lässt:
\(2,0 = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v²}{c²}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2,0^2} = 1-\frac{v^2}{c^2} \Leftrightarrow \frac{c^2}{2,0^2} = c^2 – v^2 \Rightarrow v= c \cdot \sqrt{1-\frac{1}{2,0^2}} = 2,6 \cdot 10^8 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \).
Bei jedem Transfer zwischen dem Ruhebezugssystem Raumstation und dem der Rakete wird die Zeit dilatiert. Also ist der Dilatationsfaktor erneut 2,0, wodurch sich für die vergangene Zeit folgender Wert ergibt:
\( \Delta t = 8,0 \, \text{min} \).
Innerhalb des Ruhebezugssystems der Rakete findet keine Zeitdilatation statt, der Zeitverlauf in der Raumstation wird allerdings verändert und vergeht langsamer. Daher sieht man in der Rakete zuerst die eigene Uhr auf „0:01 Uhr“ springen, bevor die Uhr der Raumstation umspringt.
b) Aufgrund dessen, dass \(\Delta x\)‘ kleiner sein soll als \(\Delta x\)‘, können weder der linke, noch der mittlere Term den Zusammenhang korrekt beschreiben: Da \( (1-\frac{v²}{c²})\) kleiner als 1 ist, würde aus den Gleichungen folgen, dass \(\Delta x\)‘ > \(\Delta x\). Also ist der dritte Zusammenhang der richtige.
Durch Einsetzen der Werte ergibt sich:
\( \Delta x‘ = \Delta x \cdot \sqrt{1-\frac{v²}{c²}} = 50 \,\text{m} \cdot \sqrt{1-\frac{(0,95c)^2}{c^2}} = 50 \, \text{m} \cdot \sqrt{0,0975} = 16 \, \text{m} \).
Die Umkehrung der Bewegung hat keine Auswirkungen auf die Längenkontraktion, solange sich die beiden Bezugssysteme geradlinig gleichförmig zueinander bewegen. Keine Bewegungsrichtung ist gegenüber der anderen ausgezeichnet.
Teilaufgabe 3: Zeitdilatation in der Technik
Zwei Beispiele für Realexperimente, bei denen die Auswirkungen der SRT relevant sind, sind das Michelson-Morley-Experiment so wie die Untersuchung von Teilchen in einem Teilchenbeschleuniger.
Obwohl die Satelliten sich nicht mit einer, im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit, niedrigen Geschwindigkeit um die Erde bewegen, sind die Auswirkungen der Zeitdilatation wichtig. Die Zeitmessung erfordert eine sehr hohe Präzision, damit Fehler bei der Navigation vermieden werden. Dafür muss bei der Berechnung der Signallaufzeiten zwischen dem Satellit und dem Empfänger die SRT berücksichtigt werden.
Auch der vierte GPS-Satellit besitzt eine Atomuhr, deren Zeitmessung an den Empfänger übertragen werden kann und eine ungenaue Zeitmessung korrigieren kann.