Teilaufgabe 1: Interferenz von Wasserwellen
a) Aus dem Zusammenhang \(f= \frac{c}{\lambda}\) folgt \(f = \frac{16 \, \frac{\text{cm}}{\text{s}}}{2,0 cm} = 8,0\, \frac{1}{\text{s}}.\)
b) Anhand der Darstellung in Abbildung 1 lassen sich die Distanzen \( |\overline{E_1P}|=5,5 \cdot \lambda \) und \( |\overline{E_2P}|=5 \cdot \lambda \) ablesen. Daraus ergibt sich ein Gangunterschied von \( \Delta s = 0,5⋅ \lambda \) bzw. \( \Delta s = 1 \, \text{cm} \). Entlang der markierten grauen Linie a sind sämtliche Punkte in der oberen Hälfte der Abbildung zu finden, bei denen der Gangunterschied genau eine vollständige Wellenlänge beträgt (\( \Delta s = 1 \cdot \lambda = 2,0\, \text{cm}) \).
[GRAFIK]
Wenn zwei Wellen an einem Ort überlagert werden, erfolgt die Addition ihrer jeweiligen Auslenkungen. Als konstruktive Interferenz bezeichnet man den Fall, wenn die Amplituden der Wellen größtmöglich verstärkt werden. Dieser tritt ein, wenn der Gangunterschied zwischen den beiden Wellen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge beträgt: \(\Delta s = n \cdot \lambda \), wobei \(n = 0; 1; 2; …\) ist. Auf der Linie \(a\) interferieren die beiden Wellen an allen Punkten konstruktiv. Der andere Fall von größtmöglicher Abschwächung der beiden Amplituden heißt destruktive Interferenz. Der Gangunterschied zwischen den beiden Wellen ist nun ein halbzahliges Vielfaches der Wellenlänge: \( \Delta s = (2 \cdot n – 1)⋅ \lambda /2\), wobei \( n = 1; 2; 3; …\) ist. An allen Punkten auf der Linie \( b \) tritt destruktive Interferenz auf.
Teilaufgabe 2: Interferenz von Lichtwellen
a) Jeder Punkt auf einer bestehenden Wellenfront dient als Ursprung einer Elementarwelle, die sich mit der gleichen Geschwindigkeit und Frequenz wie die ursprüngliche Wellenfront ausbreitet. Die Summe aller dieser Elementarwellen bildet die neue Wellenfront. Die Mitte jeder der beiden Spalte kann als Ursprung einer sich (in der Ebene) kreisförmig ausbreitenden Elementarwelle betrachtet werden. Auf dem Schirm treten Stellen maximaler Helligkeit auf, wo die beiden Elementarwellen konstruktiv interferieren. Dazwischen befinden sich Bereiche minimaler Helligkeit, wo die Interferenz zwischen den beiden Elementarwellen destruktiv ist.
b) [GRAFIK]
Anhang der Skizze erkennt man den Zusammenhang \( \tan{(\alpha_n)} =\frac{d_n}{a} \). Das Maximum \(n\)-ter Ordnung kann bei einem Winkel von \(\alpha_n\) beobachtet werden. Dieser befindet sich ebenfalls in dem grauen Dreieck, dessen Seitenlänge dem Gangunterschied \( \Delta s\) entspricht. Daraus folgt \( \sin{( \alpha_n)} = \frac{\Delta s}{g} \). Für konstruktive Interferenz gilt die Bedingung \( \Delta s = n \cdot \lambda \) mit \( n = 0; 1; 2; …\), woraus folgt \( \sin{(\alpha_n)} = \frac{n \cdot \lambda}{g} \) bzw. \(g \cdot \sin{(\alpha_n)} = n \cdot \lambda \).
c) Der Zusammenhang aus b) liefert für \(n=1: \lambda = \sin{(\alpha_1)}\cdot g \) und \( \alpha_1 = \tan^{-1}{(\frac{d_1}{a})} \). Einsetzen von \( d_1 = \frac{d}{2} = 0,55\, \text{cm} \) liefert:
\( \lambda = \sin{(\tan^{-1}{(\frac{d_1}{a})}}) \cdot g = \sin{( \tan^{-1}{(\frac{0,55 \cdot 10^{-2} m}{4,5 \, \text{m}})}}) \cdot 0,50 \cdot 10^{-3}\, \text{m} = 6,1 \cdot 10^{-7}\, \text{m} \).
d) Licht, das als weißes Licht bezeichnet wird, setzt sich aus verschiedenen Anteilen aller Wellenlängen des sichtbaren Spektralbereichs zusammen. Bei einem Beugungsgitter (ebenso wie bei einem Doppelspalt) hängt der Winkel \( \alpha_n\), unter dem das Maximum \(n\)-ter Ordnung beobachtet werden kann (für \(n \geq 1\)), von der jeweiligen Wellenlänge ab. Daher existiert für jede Wellenlänge ein unterschiedlicher Winkel und dementsprechend eine unterschiedliche Position des \(n\)-ten Maximums auf dem Schirm.
e) Eine solche Überlagerung tritt auf, wenn der Winkel \(\alpha_2 \) für die zweite Ordnung bei der kleinsten Wellenlänge \(\lambda_{\text{min}}\) im Farbspektrum kleiner ist als der Winkel \(\alpha_1\) für die erste Ordnung bei der größten Wellenlänge \(\lambda_{\text{max}}\). Die Ergebnisse der Messung deuten darauf hin, dass die Lichtquelle nicht nur sichtbares Licht emittiert, sondern auch Infrarot- und/oder UV-Licht. In dem abgedunkelten Bereich sind dann die Maxima des Infrarotlichts der ersten Ordnung und/oder die Maxima des UV-Lichts der zweiten Ordnung zu finden.
Teilaufgabe 3: Interferenz von Materiewellen
a) Beim Durchlaufen der Beschleunigungsspannung wird die potentielle Energie \(E_{\text{pot}} = e \dot U_B \), die das elektrische Feld besitzt in kinetische Energie umgewandelt, welche folgende Formel hat: \(E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 \).
Das Gleichsetzen beider Energien \( E_{\text{pot}} = E_{\text{kin}} \) liefert \( v = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U_B}{m_e}}\).
Mit der Relation \( \lambda = \frac{h}{m_e \cdot v} \) folgt \( \lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \cdot e \cdot U_B \cdot m_e}} \).
Mit den gegebenen Werten ergibt sich \( \lambda = 3,9 \cdot 10^{-11} \, \text{m} \)
Die Beziehung aus Teilaufgabe 2b) liefert nach Umformen für \( n= 1: \alpha_1 = \sin^{-1}{(\frac{\lambda}{g})} \) und \( d_1 = a \cdot \tan{(\alpha_1)} \). Daraus folgt:
\( d_1 = a \cdot \tan{(\sin^{-1}{(\frac{\lambda}{g})})} = 3,0 \, \text{m} \cdot \tan{(\sin^{-1}{(\frac{3,9 \cdot 10^{-11} \, \text{m}}{1,0 \cdot 10^{-6} \, \text{m}})})} = 1,2 \cdot 10^{-4} \, \text{m}\)
Der Abstand zwischen dem Maximum erster Ordnung und dem Maximum nullter Ordnung beträgt weniger als 1 mm. In der Simulation wird dieser Abstand jedoch übertrieben dargestellt.
b) Wenn klassische Teilchen auf einen Doppelspalt treffen, passiert jedes Teilchen auf dem Schirm entweder den einen oder den anderen Spalt. Wenn der Versuch mit vielen klassischen Teilchen hintereinander durchgeführt wird, beobachtet man auf dem Schirm direkt hinter den Spalten zwei Bereiche, in denen die Teilchen auftreffen. Im Gegensatz dazu durchquert eine klassische Welle beide Spalte, und auf dem Schirm sieht man sofort ein Interferenzmuster. Selbst wenn die Intensität der klassischen Welle verringert wird, entsteht weiterhin sofort ein (weniger ausgeprägtes) Interferenzmuster. Diese Effekte treten bei Elektronen nicht auf. Daraus lässt sich schließen, dass sich das Elektron weder wie ein klassisches Teilchen noch wie eine klassische Welle verhält. Es lässt sich durch keines der beiden Modelle beschreiben.
c) Die Elektronen des Strahls haben alle eine Energie von \( E_{\text{kin}} = 1,0 \, \text{keV} \). Mit der Relation \( E_{\text{Ph}} = h \cdot f = h \cdot \frac{c}{\lambda} \) ergibt sich die Wellenlänge der Strahlung zu \( \lambda = h \cdot \frac{c}{E_{Ph}} \). Mit \( E_{\text{Ph}} = 1,0 \, \text{keV} \) folgt \( \lambda = 1,2 \cdot 10^{-9} \, \text{m} \).
Diese Wellenlänge ist deutlich größer als die Wellenlänge, die für energiegleiche Elektronen relevant ist. Da der Winkel \( \alpha_1 \), unter dem das Maximum erster Ordnung erscheint, mit zunehmender Wellenlänge größer wird, erhöht sich auch der Abstand zwischen dem Maximum erster Ordnung und dem Maximum nullter Ordnung.