Teilaufgabe 1: Lichtemission von Wasserstoff
a) Die Gesamtenergie \(E_{\text{ges}}\) eines gebundenen Elektrons in einer Atomhülle ist die Summe aus potentieller und kinetischer Energie. Diese kann nur diskrete Werte annehmen, welche in einem Energieniveauschema dargestellt werden.
Den Zustand eines Elektrons mit der niedrigsten Energie bezeichnet man als Grundzustand, alle Zustände mit höheren Energien sind angeregte Zustände.
Das Elektron in der Atomhülle eines Wasserstoffatoms hat im Grundzustand eine Energie von \(E_{\text{ges,1}} = -13,6 \, \text{eV}\). Dieser Zustand wird durch die Quantenzahl \(n=1\) charakterisiert. Die angegebenen energetisch höhere Zustände mit den Energien \(E_{\text{ges,2}} , E_{\text{ges,3}} , E_{\text{ges,4}}\)… haben entsprechend die Quantenzahlen \(n = 2,3,4,\)… .
Eine Energie von \(E_{\text{ges}}=0\) bedeutet, dass das Elektron in einem Zustand ist, in dem es nicht mehr an den Atomkern gebunden ist.
b) Beim Übergang zwischen verschiedenen Zuständen wird die Energiedifferenz dieser Zustände durch \(\Delta E\) beschrieben. Wenn der Übergang von einem energetisch höheren zu einem energetisch niedrigeren Zustand erfolgt, wird ein Photon mit der Energie \(\Delta E\) emittiert, man spricht von Emission.
In der angegebenen Gleichung muss die Klammer einen negativen Wert besitzen, damit gilt \(\Delta E > 0\). Dies ist erfüllt, wenn der Übergang zwischen einem energiereicheren Zustand mit der Quantenzahl \(m\) und einem energieärmeren Zustand mit der Quantenzahl \(n\) erfolgt. Da die Energien mit steigender Quantenzahl größer werden, folgt dass \(m>n\) gelten muss.
c) Für die Energie des Photons gilt:
\(E_{\text{Ph}} = h \cdot f = \frac{h\cdot c}{\lambda} \)
Mit den gegebenen Werten folgt:
\(E_{\text{Ph}} = \frac{6,626\cdot 10^{-34} \, \text{J} \cdot 2,998 \cdot 10^8 \, \frac{\rm m}{\rm s}}{656 \, \text{nm}} = 3,03 \cdot 10^{-19} \, \text{J} = 1,89 \, \text{eV} \)
In Abbildung 1 lässt sich diese Energie am ehesten beim Übergang 3 \( \rightarrow\) 2 finden, für den gilt \( \Delta E = E_3 – E_2 = 1,9 \text{eV} \).
Teilaufgabe 2: Sternspektren
a) Wenn Elektronen in der Atomhülle auf ein niedrigeres Energieniveau übergehen, werden Photonen emittiert, die genau die Energiedifferenz zwischen den beiden Niveaus haben. In einem Emissionslinienspektrum werden die Photonenenergien durch charakteristische Spektrallinien dargestellt. Die diskreten Energieniveaus und damit die Energien der ausgesendeten Photonen sind spezifisch für jedes Element, weshalb man von einem Emissionslinienspektrum auf die jeweilige Atomsorte schließen kann.
Wenn ein Hüllenelektron durch die äußere Anregung eines Photons mit einer spezifischen Energie auf ein höheres (zuvor nicht vollständig besetztes) Energieniveau übergeht, spricht man von Absorption. Im Absorptionslinienspektrum entstehen dunkle Linien in dem sonst kontinuierlichen Energiespektrum, wenn ein Photon genau die Energie besitzt, die der Differenz zwischen zwei Energieniveaus entspricht. Daher ist auch das Absorptionslinienspektrum charakteristisch für eine bestimmte Atomsorte.
Die in Abbildung 2 abgebildeten Fraunhoferlinien sind Absorptionslinien in einem Emissionsspektrum.
b) Die „E-Linie“ kann keine Spektrallinie von Wasserstoff sein, da es kein Energieniveau gibt, dessen Energiedifferenz zu \(n=2\) der gegebenen Energie entspricht. Das gesuchte Energieniveau müsste bei \(E_2 + \Delta E = -3,40 \, \text{eV} + 2,35 \, \text{eV} = -1,05 \, \text{eV}\) liegen, also zwischen den Niveaus \(n=3\) und \(n=4\).
c) Wenn das Licht des Sterns die Atmosphäre eines Exoplaneten durchläuft, erscheinen im Spektrum zusätzliche Absorptionslinien, welche charakteristisch für die in der Atmosphäre enthaltenen Atomsorten sind. Das bedeutet, dass im Transit bestimmte Wellenlängen im Spektrum an Intensität verlieren. Wenn keine Atmosphäre vorhanden ist, also keine Absorptionsvorgänge stattfinden, sollten auch keine zusätzlichen Absorptionslinien entstehen, sondern nur die Intensität des gesamten Spektrums abnehmen.
Teilaufgabe 3: Leuchtkraft der Sonne
a) Im Kern werden zwei Protonen in einen ²H-Kern (Deuteriumkern) umgewandelt, der aus einem Neutron und einem Proton besteht. Zusätzlich entstehen ein Positron und ein (Elektron-)Neutrino und es werden 0,42 MeV als Bewegungsenergie der Teilchen freigesetzt.
b) Sowohl ein Neutron als auch ein Proton bestehen aus drei Quarks. Ein Up-Quark besitzt die Ladung \(+\frac{2}{3}e \) während ein Down-Quark eine Ladung von \(-\frac{1}{3}e \) besitzt. Das einfach positiv geladene Proton besteht aus zwei Up-Quarks und einem Down-Quark: \(Q_p = 2\cdot( +\frac{2}{3}e ) -\frac{1}{3}e = +e\). Das Neutron besteht aus zwei Down-Quarks und einem Up-Quarks und ist elektrisch neutral: \(Q_n = +\frac{2}{3}e – 2\cdot( +\frac{1}{3}e ) = 0\) .
Im beschriebenen Prozess wird in einem Proton ein Up-Quark in ein Down-Quark umgewandelt. Ein \(\text{W}^{+}\)-Boson agiert als Austauschteilchen und zerfällt anschließend in das Positron und das Neutrino.
c) Im Teilprozess II fusioniert der zuvor entstandene ²H-Kern mit einem zusätzlichen Proton. Es entsteht ein ³He-Kern und es wird ein Gammaquant emittiert. Im letzten Teilprozess III fusionieren zwei ³He-Kerne zu einem \(^4\text{He-Kern}\), wobei zwei Protonen freigesetzt werden.
d) Die Reaktionsprodukte der exothermen p-p-Reaktion besitzen kinetische Energie und es werden Gammaquanten freigesetzt, welche Strahlungsenergie transportieren. Diese Energie entspringt der Masse der ursprünglichen Wasserstoffkerne, und kann durch die Energie-Masse-Äquivalenz berechnet werden:
\( \Delta E = \Delta m \cdot c² = 0,00685 \cdot 4 \cdot m_{\rm 1_H} \cdot c² \)
Mit den gegebenen Werten ergibt sich für die freigesetzte Energie:
\( \Delta E = 0,00685 \cdot 4 \cdot 1,007276 \cdot 1,660539 \cdot 10^{-27} \, \text{kg} \cdot (2,998 \cdot 10^8 \frac{\text{m}}{\text{s}})² \)
\( = 4,12 \cdot 10^{-12} \, \text{J} = 25,7 \, \text{MeV} \).
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