Hier findest du die Lösungen zu den Check-up-Aufgaben des Kapitels Mechanische Energie und Arbeit.
Energie ist die Fähigkeit, Körper zu bewegen und zu verformen, Wärme abzugeben oder Licht auszusenden.
Alternativ: Energie ist ein momentaner Zustand eines Körpers. Mithilfe von Energie können Körper bewegt, verformt, erwärmt oder anderweitig verändert werden.
z. B.: Die Kabine eines Fahrstuhls fährt nach oben.
Grafik folgt
Ziegel auf dem Dach: potenzielle Energie
fallender Regentropfen: kinetische Energie
heißer Stein: thermische Energie
Stück Schokolade: chemische Energie
a Spannenergie, kinetische Energie
b thermische Energie
c Lichtenergie
d chemische Energie
e potenzielle Energie, kinetische Energie
Gegeben:
\(m=2 \cdot1,5\ \mathrm{kg};\ \Delta h=1,5\ \mathrm{m};\)
1 × pro Woche = 52-mal im Jahr
Gesucht:
\(E_{\text{pot}}\text{ in J}\)
Berechnung:
\(E_{\text{pot}}=52\cdot m\cdot g\cdot \Delta h\)
\(E_{\text{pot}}=52\cdot 3\ \mathrm{kg}\cdot 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}}\cdot 1,5\ \mathrm{m}\)
\(E_{\text{pot}}=2295,54\ \mathrm{J}\approx2,3\ \mathrm{kJ}\)
Uhr mit Batterieantrieb: \(E=13,5\ \mathrm{kJ}\)
Ergebnis:
Die Küchenuhr benötigt fast 6-mal so viel Energie wie die von Hand aufgezogene Pendeluhr.
Die von Hannes aufzubringende Energie entspricht mindestens der potenziellen Energie der hochgetragenen Einkäufe. Da Hannes auch eine Masse besitzt, benötigt er zusätzlich Energie, um selbst im Haus nach oben zu steigen. Diese Energie können wir aber nicht berechnen, da wir die Masse nicht kennen.
Gegeben:
\(m_1=12\ \mathrm{kg};\ m_2=8\ \mathrm{kg}\)
\(\Delta h_1=1,20\ \mathrm{m};\ \Delta h_2=4,50\ \mathrm{m}\)
Gesucht:
\(E_{\text{pot}}\text{ in J}\)
Berechnung:
\(E_{\text{pot}}=m\cdot g\cdot \Delta h\)
Erdgeschoss: \(E_{\text{pot}}=12\ \mathrm{kg}\cdot 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}}\cdot 1,20\ \mathrm{m}=141,26\ \mathrm{J}\)
Obergeschoss: \(E_{\text{pot}}=8\ \mathrm{kg}\cdot 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}}\cdot 4,50\ \mathrm{m}=353,16\ \mathrm{J}\)
Gesamt: \(141,26\ \mathrm{J}+353,16\ \mathrm{J}=494,42\ \mathrm{J}\)
Ergebnis:
Hannes muss mindestens \(494,42\ \mathrm{J}\) aufbringen. Zusätzlich ist noch mehr Energie notwendig, um seinen Körper nach oben zu bringen.
a Aufgrund der Größenangaben gehen wir davon aus, dass die Wolke quaderförmig ist.
Gegeben:
Länge \(l = 8 \, \text{km} \)
Breite \(b = 2 \, \text{km} \)
Höhe \(h = 8 \, \text{km} \)
Dichte \(\rho = 1 \, \frac{\text{g}}{\text{m}^3} \)
Höhe über dem Erdboden \(h_\text{EB} = 5 \, \text{km} \)
Gesucht:
\(E_{\text{pot}}\text{ in J}\)
Berechnung:
Masse:
\(\rho = \frac{m}{V} \Rightarrow m = \rho \cdot V \)
\(m = 1 \, \frac{\text{g}}{\text{m}^3} \cdot 8 \, \text{km} \cdot 2 \, \text{km} \cdot 8 \, \text{km} \)
\(m = 1 \, \frac{\text{g}}{\text{m}^3} \cdot 128 \, \text{km}^3 = 1 \, \frac{\text{g}}{\text{m}^3} \cdot 128000000000 \, \text{m}^3 \)
\(m = 128000000 \, \text{kg} \)
Potenzielle Energie:
\(E_\text{pot} = m \cdot g \cdot h_\text{EB} \)
\(E_\text{pot} = 128000000 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 5000 \, \text{m} \)
\(E_\text{pot} = 6,28\cdot 10^{12} \, \text{J} = 6,28 \, \text{TJ} \)
Ergebnis:
In der Wolke ist eine potenzielle Energie von \(6,28 \, \text{TJ} \) gespeichert.
b Gegeben:
Leistung \(P = 1,3 \, \text{GW} = 1,3 \cdot 10^9 \, \text{W} \)
Gesucht:
Zeit \(t \text{ in h}\)
Berechnung:
\(P = \frac{E}{t} \Rightarrow t = \frac{E}{P} \)
\(t = \frac{6,28 \, \cdot \, 10^{12} \, \text{J}}{1,3 \, \cdot \, 10^9 \, \frac{\text{J}}{\text{s}}} \)
\(t \approx 4830 \, \text{s} \approx 80,5\ \mathrm{min}\approx 1,34 \, \text{h} \)
Ergebnis:
Das Kraftwerk müsste also ungefähr 80 Minuten laufen um ebenso viel Energie bereitzustellen, wie potenzielle Energie in der Wolke gespeichert ist
Hinweis: Ein Kraftwerk mit der Leistung 1,3 GW ist ein sehr großes Kraftwerk. Dies könnte beispielsweise ein Kohle- oder Gaskraftwerk sein. Auch ein modernes Windkraftwerk mit einer sehr großen Anzahl von Windturbinen, die eine Leistung von je 4 MW besitzen, könnte eine solche Leistung erbringen.
Strahlungsenergie, chemische Energie, kinetische Energie, thermische Energie
Der Energieerhaltungssatz der Mechanik besagt, dass Energie weder vernichtet noch erzeugt werden kann. Energie wird lediglich von einer Form in eine andere umgewandelt. Beim Verbrennen von Holz im Kaminofen wird die im Holz gespeicherte chemische Energie in thermische Energie umgewandelt. Diese thermische Energie zeigt sich in der Erhöhung der Temperatur des Ofens und des Raumes, in dem sich der Kaminofen befindet. Somit sind die Aussagen von Sarah und Valentin falsch, da sie von Energieerschaffung oder Energievernichtung gesprochen haben.
a elektrische Energie → thermische Energie
b elektrische Energie → Strahlungsenergie → thermische Energie
c chemische Energie → kinetische Energie → thermische Energie
d chemische Energie → Strahlungsenergie → thermische Energie
elektrische Energie → Bewegungsenergie: Haushaltmixer
elektrische Energie → thermische Energie: Küchenherd
elektrische Energie → chemische Energie: Akkumulator
Lichtenergie → elektrische Energie: Solarzelle (Fotovoltaik)
Lichtenergie → thermische Energie: Sonnenkollektor (Solarthermie)
Lichtenergie → Bewegungsenergie: Sonnensegel (Raumfahrt)
Der Wagen würde bis zum Punkt 1 kommen.
Laut Energieerhaltungssatz kann das Auto den Punkt 3 nicht erreichen, da die Energie im System konstant ist. Die Energie ist am Anfang und am Ende der Fahrt gleich groß, da das Auto nicht angetrieben wird und so dem System keine Energie zugeführt wird. Beim Punkt 3 würde die potenzielle Energie des Wagens aber größer sein als am Anfang. Da bei der Fahrt Reibung auftritt, wird ein Teil der potenziellen Energie in thermische Energie umgewandelt. Diese thermische Energie geht dem mechanischen System verloren. Sie fehlt am Ende der Fahrt bei der potenziellen Energie des Wagens. Damit kann auch der Punkt 2 nicht erreicht werden und es bleibt nur der Punkt 1 als Möglichkeit.
a Gegeben:
\(m=12\ \mathrm{kg}\)
\(\Delta h=4,50\ \mathrm{m}\)
Gesucht:
\(E_{\text{pot}}\text{ in J}\)
Berechnung:
\(E_{\text{pot}}=m\cdot g\cdot \Delta h\)
\(E_{\text{pot}}=12\ \mathrm{kg}\cdot 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}}\cdot 4,50\ \mathrm{m}\approx 530\ \mathrm{J}\)
Ergebnis:
Hannes muss mindestens \(530\ \mathrm{J}\) aufbringen.
b Hannes muss eine Arbeit von \(W=\Delta E=530\ \mathrm{J}-0\ \mathrm{J}\) verrichten, da die potenzielle Energie unten \(E_{\text{pot}}=0\ \mathrm{J}\) beträgt.
c In Aufgabe a wurde lediglich die potenzielle Energie der hochgetragenen Einkäufe berücksichtigt. Da Hannes auch eine Masse besitzt, benötigt er zusätzlich Energie, um selbst im Haus nach oben zu steigen. Diese Energie können wir aber nicht berechnen, da wir die Masse nicht kennen. Außerdem muss Hannes sich bewegen, um in die Wohnung zu gelangen. Hierfür wird kinetische Energie benötigt, die ebenfalls nicht berechnet wurde.
a Gegeben:
\(m=2500\ \mathrm{kg}\)
\(\Delta h=20\ \mathrm{m}\)
Gesucht:
\(W=\Delta E\text{ in J}\)
Berechnung:
Die verrichtete Arbeit W berechnet sich aus der Veränderung der potenziellen Energie ΔE. Diese ist gegeben durch: \( W=\Delta E = m \cdot g \cdot \Delta h \).
\(W= \Delta E = 2500 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 20 \, \text{m} \)
\( W=\Delta E = 490500 \, \text{J} \)
Ergebnis:
Die verrichtete Arbeit beträgt also \(W=490500 \, \text{J} \).
b Die Arbeit, die verrichtet wird, wenn der Steinblock über die Rampe transportiert wird, ist gleich der Arbeit, die verrichtet wird, wenn der Block direkt hochgehoben wird. In beiden Fällen beträgt die Arbeit \(490500 \, \text{J} \). Dies liegt daran, dass die Arbeit nur von der Höhe und nicht vom Weg abhängt, wenn die Reibung vernachlässigt wird.
Einige Beispiele für Strategien können sein:
- Schwere Sachen nah am Rücken: Schwere Bücher und Materialien sollten nah am Rücken im Rucksack sein. Damit bleibt der Abstand zur Last klein und du brauchst nach der goldenen Regel der Mechanik weniger Kraft, um das Gewicht zu tragen.
- Gewicht gleichmäßig verteilen: Achte darauf, dass das Gewicht im Rucksack gleichmäßig verteilt ist. Das verhindert, dass deine Wirbelsäule einseitig belastet wird.
- Träger richtig einstellen: Stelle die Riemen des Rucksacks so ein, dass er hoch und fest am Rücken sitzt. Das reduziert den Abstand und somit, nach der goldenen Regel der Mechanik, die nötige Kraft.
- Zusätzliche Gurte verwenden: Benutze auch Brust- und Hüftgurte, um das Gewicht besser zu verteilen, was die benötigte Kraft verringert.
Durch diese Maßnahmen schonst du deine Wirbelsäule und brauchst weniger Kraft, ähnlich wie bei der goldenen Regel der Mechanik: geringer Abstand zur Last = weniger notwendige Kraft.
Ein Flaschenzug ist ein mechanisches Hilfsmittel, das aus mehreren Rollen und einem Seil besteht. Er dient dazu, schwere Lasten mit weniger Kraftaufwand zu heben. Der Vorteil eines Flaschenzugs gegenüber dem direkten Heben eines Gegenstands liegt in der Reduzierung der benötigten Kraft. Durch die Verwendung von mehreren Rollen wird die Last auf mehrere Seilabschnitte verteilt, wodurch die Kraft, die aufgebracht werden muss, verringert wird. Dies ermöglicht es, schwere Gegenstände mit weniger körperlicher Anstrengung zu heben.
a Hubarbeit
b Gegeben:
Masse \(m = 500 \, \text{kg} \)
Höhenunterschied \(\Delta h = 10 \, \text{m} \)
Gesucht:
\(W=\Delta E\text{ in J}\)
Berechnung:
Die verrichtete Arbeit W berechnet sich aus der Veränderung der potenziellen Energie ΔE. Diese ist gegeben durch: \(W= \Delta E = m \cdot g \cdot \Delta h \).
\( W=\Delta E = 500 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 10 \, \text{m} \)
\( W=\Delta E = 49050 \, \text{J} \)
Ergebnis:
Die vom Kran verrichtete Arbeit beträgt \(W = 49050 \, \text{J} \).
c Gegeben:
Arbeit \(W = 49050 \, \text{J} \)
Zeitspanne \(\Delta t = 20\, \text{s} \)
Gesucht:
Leistung \(P\text{ in W}\)
Berechnung:
\(P = \frac{W}{\Delta t}\)
\(P = \frac{49050 \, \text{J}}{20 \, \text{s}} \)
\(P = 2452,5 \, \text{W} \)
Ergebnis:
Die vom Kran verrichtete Arbeit beträgt \(P = 2452,5 \, \text{W} \).
Um deine Höchstleistung beim Treppensteigen zu berechnen, folge diesen Schritten:
1. Miss die Höhe einer Treppenstufe \((h_{\text{Stufe}})\).
2. Zähle die Anzahl der Treppenstufen \((n)\).
3. Bestimme deine Masse \((m)\).
4. Miss die Zeit, die du für die Treppenstufen benötigst \((\Delta t)\).
5. Berechne die gesamte Höhe \((\Delta h=n\cdot h_{\text{Stufe}})\).
6. Berechne die Veränderung der potenziellen Energie \((\Delta E=m\cdot g\cdot\Delta h)\).
7. Berechne die mechanische Leistung \((P=\frac{\Delta E}{\Delta t})\).
Beispiel:
Angenommen, die Höhe einer Treppenstufe beträgt 0,2 m, die Anzahl der Treppenstufen ist 15, deine Masse ist 50 kg und du benötigst 10 Sekunden für den Aufstieg.
1. \(h_{\text{Stufe}}=0,2\ \mathrm{m}\)
2. \(n=15\)
3. \(m =50\ \mathrm{kg}\)
4. \(\Delta t =10\ \mathrm{s}\)
5. \(\Delta h=n\cdot h_{\text{Stufe}}=15\cdot0,2\ \mathrm{m}=3\ \mathrm{m}\)
6. \(\Delta E=m\cdot g\cdot\Delta h=50\ \mathrm{kg}\cdot 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 3 \, \text{m}=1471,5\ \mathrm{J}\)
7. \(P=\frac{\Delta E}{\Delta t}=\frac{1471,5\ \mathrm{J}}{10\ \mathrm{s}}=147,15\ \mathrm{W}\)
Deine Höchstleistung beim Treppensteigen beträgt also \(147,15\ \mathrm{W}\).
Energie beschreibt die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten. Arbeit ist die Energieübertragung durch eine Kraft über eine Strecke. Leistung ist die verrichtete Arbeit pro Zeit.
Gegeben:
Masse \(m = 70 \, \text{kg} \)
Höhenunterschied \(\Delta h = 303 \, \text{m} \)
Zeitspanne \(\Delta t = 10 \, \text{min} \, 28 \, \text{s} = 628 \, \text{s} \)
Gesucht:
Leistung \(P\text{ in W}\)
Berechnung:
\(P = \frac{\Delta E}{\Delta t} = \frac{m \, \cdot \, g \, \cdot \, \Delta h}{\Delta t} \)
\(P = \frac{70 \, \text{kg} \, \cdot \, 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} \, \cdot \, 303 \, \text{m}}{628 \, \text{s}} \)
\(P = 331 \, \text{W} \)
Ergebnis:
Thomas Dold erbrachte eine Leistung von \(331 \, \text{W} \).