Hier findest du die Lösungen zu den Check-up-Aufgaben des Kapitels Bewegungen.
a)
© Cornelsen Verlag GmbH
b)
\(s_1(t) = 4x \)
\(s_2(t) = -3,5x + 9 \)
\(s_1(t) = s_2(t) \)
\(4x = -3,5x + 9 \, | +3,5x \)
\(7,5x = 9 \, | :7,5 \)
\(x = 1,2 \)
\(s_1(t) = 4 \cdot 1,2 = 4,8 \)
Der Schnittpunkt der Graphen liegt bei \((1,2 | 4,8) \).
c) Zum Beispiel:
Freunde starten an verschiedenen Orten gleichzeitig und fahren sich entgegen. Nach 1,2 Stunden treffen sie sich.
Gegeben:
Beschleunigung \(a = 2,0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \)
Geschwindigkeit \(v = 130 \, \frac{\text{km}}{\text{h}} = 36,1 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \)
Gesucht:
Zeit \(t \)
Strecke \(s \)
Berechnung:
\(v(t) = a \cdot t \Rightarrow t = \frac{v}{a} \)
\(t = \frac{36,1 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{2,0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 18 \, \text{s} \)
\(x(t) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \)
\(x(18 \, \text{s}) = \frac{1}{2} \cdot 2,0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (18 \, \text{s})^2 = 324 \, \text{m} = 0,32 \, \text{km} \)
Ergebnis:
Der Pkw benötigt für die Beschleunigung \(18 \, \text{s} \) und legt dabei \(0,32 \, \text{km} \) zurück.
Bewegungsgleichungen:
\(v(t) = a \cdot t + v_0 \)
\(s(t) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t \)
\(a = \frac{v(t) \, – \, v_0}{t} \)
\(\Rightarrow s(t) = \frac{1}{2} \cdot ( \frac{v(t) \, – \, v_0}{t} ) \cdot t^2 + v_0 \cdot t \)
\(s(t) = \frac{1}{2} \cdot (v(t) + v_0) \cdot t \)
\(t = \frac{2 \, \cdot \, s(t)}{v(t) \, – \, v_0} \)
Berechnung:
\(t = \frac{2 \, \cdot \, 120 \, \text{m}} {22,2 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \, – \, 36,1 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}} \)
\(t = 17,3 \, \text{s} \)
Das Diagramm passt am besten zur Strecke B: In Runde 1 wird dreimal stark abgebremst. Hieraus kann geschlussfolgert werden, dass es drei Kurven gibt, die ein Abbremsen erfordern. Das trifft auf die Strecken B, C und E zu. Die Wahl fällt auf Strecke B, weil die zweite Kurve nach dem Start einen besonders kleinen Radius besitzt. Dies passt zu der Tatsache, dass das zweite Bremsen im Diagramm am stärksten ist; hier wird das Geschwindigkeitsminimum angenommen.
Gegeben:
Fallzeit \(t = 4 \, \text{s} \)
Gesucht:
Fallstrecke \(s(t) \)
Berechnung:
\(s(t) = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \)
\(s(4 \, \text{s}) = \frac{1}{2} \cdot 9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (4 \, \text{s})^2 \)
\(s(4 \, \text{s}) = 78,48 \, \text{m} \)
Ergebnis:
Der Turm hat eine Höhe von etwa \(78 \, \text{m} \).
Gegeben:
Fallzeit \(t = 0,2 \, \text{s} \)
Gesucht:
Fallstrecken \(s(t) \)
Berechnung:
\(s(t) = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \)
\(s_1(0,2 \, \text{s}) = \frac{1}{2} \cdot 9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (0,2 \, \text{s})^2 = 0,196 \, \text{m} \)
\(s_2(0,4 \, \text{s}) = \frac{1}{2} \cdot 9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (0,4 \, \text{s})^2 = 0,785 \, \text{m} \)
\(s_3(0,6 \, \text{s}) = \frac{1}{2} \cdot 9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (0,6 \, \text{s})^2 = 1,77 \, \text{m} \)
\(s_4(0,8 \, \text{s}) = \frac{1}{2} \cdot 9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (0,8 \, \text{s})^2 = 3,14 \, \text{m} \)
Ergebnis:
Die Schnur muss so gehalten werden, dass sich die Sechskantmutter 1 genau \(0,196 \, \text{m} \) über dem Boden befindet. Die Abstände \(d \) der Sechskantmuttern betragen:
\(d_{12} = 0,758 \, \text{m} – 0,196 \, \text{m} = 0,589 \, \text{m} \)
\(d_{23} = 1,77 \, \text{m} – 0,785 \, \text{m} = 0,985 \, \text{m} \)
\(d_{34} = 3,14 \, \text{m} – 1,77 \, \text{m} = 1,37 \, \text{m} \)
a) Statt die Kugel mit einer Geschwindigkeit von \(6 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \)senkrecht nach oben zu werfen, kann man sie aus der zu berechnenden Höhe fallen lassen. Sie muss beim Auftreffen den gleichen Geschwindigkeitsbetrag besitzen, da die Bewegung symmetrisch ist. Anstelle der Steighöhe kann somit auch die Fallhöhe berechnet werden. Es gelten die Gleichungen des freien Falls:
\(v(t) = g \cdot t \Rightarrow t = \frac{v(t)}{g} \)
Eingesetzt in \(s(t) = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \) ergibt sich für die Fallstrecke \(s(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2}{g}\).
In der Aufgabe entspricht \(s(t) \) der gesuchten Höhe \(h(t) \) und es ist \(v = v_0 = 6 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \).
\(h(t) = s(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2}{g} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \, \frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 1,84 \, \text{m} \)
b) Die in a) hergeleitete Gleichung der Fall- bzw. Steighöhe lässt sich nach der gesuchten Geschwindigkeit auflösen:
\(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot s} = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} = \sqrt{2 \cdot 9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 5 \, \text{m}} = 9,9 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \)
c) Da die Kugel zunächst hochgeworfen wird und dann herunterfällt, entspricht die gesamte Wurfzeit der doppelten Fallzeit:
\(t_\text{W} = 2 \cdot \frac{v}{g} = 2 \cdot \frac{8,0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 1,6 \, \text{s} \)
Niels denkt, dass er dem Ball die Kraft wie eine Portion mitgibt und der Ball diese dann besitzt. Diese Vorstellung entspricht nicht der Newtonschen Kraftdefinition.
Maike hat insoweit eine richtige Perspektive, dass nach der Grundgleichung der Mechanik zur Geschwindigkeitsänderung eine Kraft notwendig ist. Aber die Stärke der Kraft hängt von der Änderungsrate der Geschwindigkeitsänderung, also der Beschleunigung ab. Das Maß ist also, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert und nicht wie groß die Änderung ist.
Johannes glaubt, dass für eine größere Geschwindigkeit eine größere Kraft benötigt wird. Dieser Zusammenhang ist falsch. Richtig ist: Die auf den Ball einwirkende Kraft ist allein seine Gewichtskraft und diese ist überall gleich.
a) Gegeben:
Höhe \(h = 10 \, \text{m} \)
Geschwindigkeit \(v = 15 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \)
Gesucht:
Wurfzeit \(t_\text{W} \)
Wurfweite \(s_\text{W} \)
Berechnung:
Wurfzeit:
\(t_\text{W} = \sqrt{\frac{2 \, \cdot \, h}{g}} \)
\(t_\text{W} = \sqrt{\frac{2 \, \cdot 10 \, \text{m}}{9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} \approx 1,43 \, \text{s} \)
Wurfweite:
\(s_\text{W} = v \cdot t_\text{W} = 15 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 1,43 \, \text{s} \)
\(s_\text{W} \approx 21,4 \, \text{m} \)
Ergebnis:
Der Ball fliegt etwa \(1,43 \, \text{s} \) und legt dabei eine Strecke von rund \(21,4 \, \text{m} \) zurück.
b) Gegeben:
Höhe \(h = 10 \, \text{m} \)
Wurfweite \(s_\text{W} = 40 \, \text{m} \)
Gesucht:
Anfangsgeschwindigkeit \(v_0 \)
Berechnung:
\(s_\text{W} = v_0 \cdot t_\text{W} \Rightarrow v_0 = \frac{s_\text{W}}{t_\text{W}} \)
\(v_0 = \frac{40 \, \text{m}}{1,43 \, \text{s}} \approx 28,0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \)
Ergebnis:
Um aus einer Höhe von \(10 \, \text{m} \) eine Wurfweite von \(40 \, \text{m} \) zu erreichen, muss der Ball mit einer Geschwindigkeit von \(28,0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \) waagerecht abgeworfen werden.
Der Luftwiderstand hemmt die Bewegung. Er führt zu einer Beschleunigung, die der aktuellen Geschwindigkeit entgegengesetzt gerichtet ist. Beim waagerechten Wurf wird daher die waagerechte Komponente der Geschwindigkeit nach und nach kleiner, bis sie auf null abgesunken ist. Der Betrag der senkrechten Komponente nimmt aufgrund des Luftwiderstands in geringerem Maße zu als beim idealisierten Fall ohne Reibung.
Der Golfball ist relativ klein und kompakt. Die Wirkung des Luftwiderstands auf ihn ist daher vergleichsweise gering, sodass er nahezu eine ideale Parabel fliegt.
Durch die Form des Federball wird dieser viel stärker vom Luftwiderstand beeinflusst. Der Luftwiderstand bremst ihn sofort nach dem Abwurf erheblich ab, sodass seine waagerechte Geschwindigkeit schnell sinkt. Der Federball fällt am Ende seiner Flugbahn fast senkrecht zu Boden.
a) Gegeben:
Umdrehungen pro Minute: \(12 500 \)
Durchmesser \(d = 125 \, \text{mm} \)
Gesucht:
Bahngeschwindigkeit \(v \)
Berechnung:
Frequenz:
\(f = \frac{12500}{60 \, \text{s}} = 208 \, \text{Hz}\)
Winkelgeschwindigkeit:
\(\omega = 2 \cdot \pi \cdot f = 2 \cdot \pi \cdot 208 \, \text{Hz} \approx 1307 \, \text{s}^{-1} \)
Bahngeschwindigkeit:
\(v = \omega \cdot r = 1307 \, \text{s}^{-1} \cdot 62,5 \, \text{mm} \approx 81687,5 \, \frac{\text{mm}}{\text{s}} \approx 81,7 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \)
Ergebnis:
Die Partikel bewegen sich mit einer Geschwindigkeit von \(81,7 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \).
b) Gesucht:
Zentripetalbeschleunigung \(a_\text{r} \)
Berechnung:
\(a_\text{r} = \frac{v^2}{r} = \frac{(81,7 \, \frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{0,0625 \, \text{m}} \approx 105951 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \)
Ergebnis:
Ein Teilchen erfährt am Rand der Scheibe eine Zentripetalbeschleunigung von \(105951 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \).
Der ruhende Beobachter erkennt eine zum Kurvenmittelpunkt gerichtete Kraft, die Zentripetalkraft \(\vec{F}_\text{r} \). Diese Kraft ist die resultierende Kraft aus der Gewichtskraft \(\vec{F}_\text{G} \) des Motorradfahrers und der Kraft \(\vec{F}_\text{B} \), die vom Boden auf das Motorrad ausgeübt wird.
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Vorüberlegung:
Vereinfachend werden die Massenmittelpunkte der Schiffe betrachtet, die einen Abstand von \(100 \, \text{m} \) besitzen.
Gegeben:
Masse \(m_1 = 250 \cdot 10^6 \, \text{kg} \)
Masse \(m_2 = 390 \cdot 10^6 \, \text{kg} \)
Abstand \(r = 100 \, \text{m} \)
Gesucht:
Gravitationskraft \(F_\text{G} \)
Berechnung:
\(F_\text{G} = G \cdot \frac{m_1 \, \cdot \, m_2}{r^2} \)
\(F_\text{G} = 6,67430 \cdot 10^{-11} \, \frac{\text{m}^3}{\text{kg} \, \cdot \, \text{s}^2} \cdot \frac{250 \cdot 10^6 \, \text{kg} \, \cdot \, 390 \cdot 10^6 \, \text{kg}}{(100 \, \text{m})^2} \)
\(F_\text{G} \approx 651 \, \text{N} \)
Ergebnis:
Die Schiffe ziehen sich mit einer Kraft von \(651 \, \text{N} \) an.
a) Der Körper mit der Masse \(m \) ist gleichzeitig den Gravitationsfeldern von Erde und Mond ausgesetzt. In Erdnähe ist die Gravitationskraft der Erde größer als die des Monds. Die resultierende Kraft auf den Körper nimmt mit zunehmenden Abstand von der Erde ab. Am Ort P ist die Summe der von Mond und Erde verursachten Gravitationskräfte null. Bei weiterer Annäherung an den Mond überwiegt die Mondanziehungskraft. Die Kraft \(F \) wechselt am Ort P ihr Vorzeichen, da die Erdanziehungskraft und die Mondanziehungskraft einander entgegengesetzt gerichtet sind.
b) Gegeben:
Mondmasse \(m_\text{M} = 7,35 \cdot 10^{22} \, \text{kg} \)
Erdmasse \(m_\text{E} = 5,97 \cdot 10^{24} \, \text{kg} \)
Gesucht:
Abstand \(r \)
Berechnung:
Die Beträge der Gravitationskräfte zwischen Körper und Erde sowie zwischen Körper und Mond sind am Ort P gleich:
\(F_\text{G,E} = F_\text{G,M} \)
\(G \cdot \frac{m \, \cdot \, m_\text{E}}{r_1^2} = G \cdot \frac{m \, \cdot \, m_\text{M}}{r_2^2} \)
\(\frac{m_\text{E}}{r_1^2} = \frac{m_\text{M}}{r_2^2} \Rightarrow \frac{m_\text{E}}{m_\text{M}} = \frac{r_1^2}{r_2^2} \)
Mit \(r_1 + r_2 = r \) erhält man:
\(r_1 = r \cdot (1 – \sqrt{\frac{m_\text{M}}{m_\text{E}}}) \)
\(r_1 = 384400 \, \text{km} \cdot (1 – \sqrt{\frac{7,35 \cdot 10^{22} \, \text{kg}}{5,97 \cdot 10^{24} \, \text{kg}}}) \)
\(r_1 = 341750 \, \text{km} \)
Ergebnis:
Die Gravitationskräfte sind im Abstand von \(341750 \, \text{km} \) von der Erde im Gleichgewicht.
Gegeben:
Abstand \(r = 52526 \cdot 10^3 \, \text{m} \)
Umlaufdauer \(T = 0,3347 \, \text{d} = 24 \cdot 3600 \cdot 0,3347 \, \text{s} = 28918 \, \text{s} \)
Gesucht:
Neptunmasse \(m_\text {N} \)
Berechnung:
\(F_\text{r} = F_\text{G} \)
\(m_\text{D} \cdot \frac{v^2}{r} = G \cdot \frac{m_\text{D} \, \cdot \, m_\text{N}}{r^2} \) mit \(v=\frac{2 \, \cdot \, \pi \, \cdot r}{T} \)
\(\frac{4 \, \cdot \, \pi^2 \, \cdot \, r^3}{T^2 \, \cdot \, r} = G \cdot \frac{m_\text{N}}{r^2} \)
\(m_\text{N} = \frac{4 \, \cdot \, \pi^2 \, \cdot \, r^3}{T^2 \, \cdot \, G} \)
\(m_\text{N} = \frac{4 \, \cdot \, \pi^2 \, \cdot \, (52526 \, \cdot 10^3 \, \text{m})^3}{(28918 \, \text{s})^2 \, \cdot \, 6,67430 \cdot 10^{-11} \, \frac{\text{m}^3}{\text{kg} \, \cdot \, \text{s}^2}}\)
\(m_\text{N} = 1,03 \cdot 10^{26} \, \text{kg} \)
Ergebnis:
Der Neptun hat eine Masse von \(1,03 \cdot 10^{26} \, \text{kg} \).