Hier findest du die Lösungen zu den Check-up-Aufgaben des Kapitels Energie.
Ziegel: Lageenergie
Regentropfen: Bewegungsenergie
Feder: Spannenergie
a)
© Cornelsen Verlag GmbH
b)
© Cornelsen Verlag GmbH
c)
© Cornelsen Verlag GmbH
a) Die Lageenergie des Jo-Jos wird beim Abrollen in Bewegungsenergie umgewandelt. Wenn das Jo-Jo unten angekommen und der Faden vollständig abgewickelt ist, dann hat das Jo-Jo die meiste Bewegungsenergie. Das Jo-Jo dreht sich weiter und wickelt dabei den Faden wieder auf. So gewinnt es wieder an Höhe. Die Bewegungsenergie wird wieder in Lageenergie umgewandelt.
b) Da bei der Bewegung ein Teil der Energie durch Reibung an die Umgebung abgegeben wird, kann das Jo-Jo nicht mehr die Ausgangshöhe erreichen.
c) Wenn man im richtigen Moment an der Schnur zieht, dann wird dem Jo-Jo etwas Energie zugeführt. Dadurch wird der Verlust ausgeglichen und das Jo-Jo erreicht seine Ausgangshöhe. Das Prinzip der Energieerhaltung bleibt also auch beim Jo-Jo gültig.
Der Wagen würde bis zum Punkt 1 kommen.
Laut Energieerhaltungssatz kann der Wagen nicht den Punkt 3 erreichen, da die Energie im System konstant ist. Die Energie ist am Anfang und am Ende der Fahrt gleich groß. Beim Punkt 3 würde die Lageenergie des Wagens aber größer sein als am Anfang. Da bei der Fahrt Reibung auftritt, wird ein Teil der Lageenergie in Wärmeenergie umgewandelt. Diese geht dem mechanischen System verloren. Damit kann auch der Punkt 2 nicht erreicht werden und es bleibt nur der Punkt 1 als Möglichkeit.
a) Aufgrund der Größenangaben gehen wir davon aus, dass die Wolke quaderförmig ist.
Gegeben:
Länge \(l = 8 \, \text{km} \)
Breite \(b = 2 \, \text{km} \)
Höhe \(h = 8 \, \text{km} \)
Dichte \(\rho = 1 \, \frac{\text{g}}{\text{m}^3} \)
Höhe über dem Erdboden \(h_\text{EB} = 5 \, \text{km} \)
Gesucht:
Lageenergie \(E_\text{Lage} \)
Berechnung:
Masse:
\(\rho = \frac{m}{V} \Rightarrow m = \rho \cdot V \)
\(m = 1 \, \frac{\text{g}}{\text{m}^3} \cdot 8 \, \text{km} \cdot 2 \, \text{km} \cdot 8 \, \text{km} \)
\(m = 1 \, \frac{\text{g}}{\text{m}^3} \cdot 128 \, \text{km}^3 = 1 \, \frac{\text{g}}{\text{m}^3} \cdot 128000000000 \, \text{m}^3 \)
\(m = 128000000 \, \text{kg} \)
Lageenergie:
\(E_\text{Lage} = m \cdot g \cdot h_\text{EB} \)
\(E_\text{Lage} = 128000000 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 5000 \, \text{m} \)
\(E_\text{Lage} = 6,4 \cdot 10^{12} \, \text{J} = 6,4 \, \text{TJ} \)
Ergebnis:
In der Wolke ist eine Lageenergie von \(6,4 \, \text{TJ} \) gespeichert.
b) Gegeben:
Leistung \(P = 1,3 \, \text{GW} = 1,3 \cdot 10^9 \, \text{W} \)
Gesucht:
Zeit \(t \)
Berechnung:
\(P = \frac{E}{t} \Rightarrow t = \frac{E}{P} \)
\(t = \frac{6,4 \, \cdot \, 10^{12} \, \text{J}}{1,3 \, \cdot \, 10^9 \, \frac{\text{J}}{\text{s}}} \)
\(t = 4923 \, \text{s} \approx 1,4 \, \text{h} \)
Ergebnis:
Ein Kraftwerk mit der Leistung 1,3 GW ist ein sehr großes Kraftwerk. Dies könnte beispielsweise ein Kohle- oder Gaskraftwerk sein. Auch ein modernes Windkraftwerk mit einer sehr großen Anzahl von Windturbinen, die eine Leistung von je 4 MW besitzen, könnte eine solche Leistung erbringen.
Gegeben:
Masse \(m = 800 \, \text{kg} \)
Geschwindigkeit \(v = 40 \, \frac{\text{km}}{\text{h}} = 11,1 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}\)
Gesucht:
Bewegungsenergie \(E_\text{Bew} \)
Berechnung:
\(E_\text{Bew} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \)
\(E_\text{Bew} = \frac{1}{2} \cdot 800 \, \text{kg} \cdot 11,1 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}\)
\(E_\text{Bew} = 4440 \, \text{J} \)
Ergebnis:
Das Auto hat eine Bewegungsenergie von \(4440 \, \text{J} \).
a) Gegeben:
Masse \(m = 12 \, \text{kg} \)
Höhe \(\Delta h = 4,50 \, \text{m} \)
Gesucht:
Lageenergie \(\Delta E_\text{Lage} \)
Berechnung:
\(E_\text{Lage} = m \cdot g \cdot \Delta h \)
\(E_\text{Lage} = 12 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 4,50 \, \text{m} \)
\(E_\text{Lage} \approx 530 \, \text{J} \)
Ergebnis:
Hannes muss mindestens eine Energie von \(530 \, \text{J} \) aufbringen.
b) Hannes muss eine Arbeit von \(530 \, \text{J} \) verrichten, da gilt: \(\Delta E = W \)
c) Die berechnete Energie entspricht der Lageenergie der hochgetragenen Einkäufe. Da Hannes auch eine Masse besitzt, benötigt er zusätzlich Energie, um selbst im Haus nach oben zu steigen. Da wir seine Masse nicht kennen, können wir diese Energie nicht berechnen.
Gegeben:
Masse von Louisa \(m_\text{L} = 34 \, \text{kg} \)
Höhe von Louisa \(\Delta h_\text{L} = 5 \, \text{m} \)
Masse von Omar \(m_\text{O} = 43 \, \text{kg} \)
Höhe von Omar \(\Delta h_\text{O} = 4 \, \text{m} \)
Gesucht:
Arbeit von Louisa \(W_\text{L} \)
Arbeit von Omar \(W_\text{O} \)
Berechnung:
\(W = F \cdot \Delta s = m \cdot g \cdot \Delta h \)
\(W_\text{L} = 34 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 5 \, \text{m}\)
\(W_\text{L} = 1668 \, \text{J} \)
\(W_\text{0} = 43 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 4 \, \text{m}\)
\(W_\text{L} = 1687 \, \text{J} \)
Ergebnis:
Louisa hat eine Arbeit von \(1668 \, \text{J} \) verrichtet; Omar eine Arbeit von \(1687 \, \text{J} \). Damit hat Omar mehr Arbeit beim Klettern verrichtet.
Gewichtskraft von Toni:
\(F_\text{G} = m \cdot g = 40 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} \approx 392 \, \text{N} \)
Das Verhältnis der beiden Gewichtskräfte beträgt damit rund 400 N : 600 N = 2 : 3. Toni muss sich also 3 m vom Drehpunkt entfernt hinsetzten, seine Schwester Nadine 2 m, wegen:
\(F \cdot l = 400 \, \text{N} \cdot 3 \, \text{m} = 600\, \text{N} \cdot 2 \, \text{m} \, (=1200 \, \text{Nm} ) \)
a) und b)
© Cornelsen/newVISION! GmbH, Bernhard A. Peter
c) Beide Hebelarme liegen auf der gleichen Seite des Drehpunkts. Der Flaschenöffner ist ein einseitiger Hebel.
d) Zum Beispiel:
\(l_1 = 1,5 \, \text{cm} \) und \(l_2 = 7,5 \, \text{cm} \)
\(\Rightarrow l_2 \) ist um den Faktor 5 größer als \(l_1 \). Die notwendige Kraft wird um den Faktor 5 verringert.
e) Zum Beispiel:
Verringerung um den Faktor 5:
\(F_2 = \frac{F_1}{5} = \frac{250 \, \text{N}}{5} = 50 \, \text{N} \)
In einem Flaschenzug gibt es mindestens zwei tragende Seilstücke. Die benötigte Zugkraft wird also mindestens halbiert. Je größer die Anzahl der tragenden Seilstücke ist, desto länger wird der zurückgelegte Weg. Das Produkt aus Kraft und Weg ist konstant.
Man fasst den Schraubenschlüssel am besten außen an. Nach der Goldenen Regel der Mechanik ist bei diesem Vorgang das Produkt aus \(F \cdot \Delta s \) gleich. Wenn man außen mit einer bestimmten Kraft den Schraubenschlüssel dreht, dann dreht sich die Schraube nur einen Bruchteil des Weges weit, aber sie wird mit einer entsprechend größeren Kraft gedreht.
A: Position A
\(F \cdot l = 1 \, \text{kg} \cdot 2 \, \text{Abschnitte} = 2 \, \text{kg} \cdot 1 \, \text{Abschnitt} \)
B: Position D
\(F \cdot l = 1 \, \text{kg} \cdot 2 \, \text{Abschnitte} = 0,5 \, \text{kg} \cdot 4 \, \text{Abschnitte} \)
C: Position D
\(F \cdot l = 4 \, \text{kg} \cdot 1 \, \text{Abschnitt} = 1 \, \text{kg} \cdot 4 \, \text{Abschnitte} \)
D: Position B
\(F \cdot l = 4 \, \text{kg} \cdot 1 \, \text{Abschnitt} = 2 \, \text{kg} \cdot 2 \, \text{Abschnitte} \)
Gegeben:
Masse \(m = 70 \, \text{kg} \)
Höhenunterschied \(\Delta h = 303 \, \text{m} \)
Zeitspanne \(\Delta t = 10 \, \text{min} \, 28 \, \text{s} = 628 \, \text{s} \)
Gesucht:
Leistung \(P \)
Berechnung:
\(P = \frac{\Delta E}{\Delta t} = \frac{m \, \cdot \, g \, \cdot \, \Delta h}{\Delta t} \)
\(P = \frac{70 \, \text{kg} \, \cdot \, 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} \, \cdot \, 303 \, \text{m}}{628 \, \text{s}} \)
\(P = 331 \, \text{W} \)
Ergebnis:
Thomas Dold erbrachte eine Leistung von \(331 \, \text{W} \).
Gegeben:
Masse \(m = 1500 \, \text{kg} \)
Höhenunterschied \(\Delta h = 400 \, \text{m} \)
Zeitspanne Sportwagen \(\Delta t_\text{Sw} = 100 \, \text{s} \)
Zeitspanne Oldtimer \(\Delta t_\text{Ot} = 400 \, \text{s} \)
Gesucht:
Leistung des Sportwagens \(P_\text{Sw} \)
Leistung des Oldtimers \(P_\text{Ot} \)
Berechnung:
\(P = \frac{\Delta E}{\Delta t} = \frac{m \, \cdot \, g \, \cdot \, \Delta h}{\Delta t} \)
\(P_\text{Sw} = \frac{1500 \, \text{kg} \, \cdot \, 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} \, \cdot \, 400 \, \text{m}}{100 \, \text{s}} \)
\(P_\text{Sw} = 58860 \, \text{W} \approx 59 \, \text{kW} \)
\(P_\text{Ot} = \frac{1500 \, \text{kg} \, \cdot \, 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} \, \cdot \, 400 \, \text{m}}{400 \, \text{s}} \)
\(P_\text{Sw} = 14715 \, \text{W} \approx 15 \, \text{kW} \)
Ergebnis:
Der Oldtimerfahrer hat unrecht. Die Leistung des Sportwagens ist 4-mal so groß. Die Lageenergie beider Fahrzeuge in 400 m Höhe ist gleich groß, da sie die gleiche Masse haben.
Gegeben:
Energie der Pommes \(E_\text{Pom} = 800 \, \text{kJ} \, \text{pro} \, 100 \, \text{g} \)
Wirkungsgrad \(\eta= 0,20 \)
Leistung \(P = 250 \, \text{W} \)
Gesucht:
Zeit \(t \)
Berechnung:
\(P = \frac{E}{t} \Rightarrow t = \frac{E}{P}\)
\(t = \frac{800000 \, \text{J}} {250 \, \frac{\text{J}}{\text{s}}} = 3200 \, \text{s}\)
\(t = 53 \, \text{min} \, 20 \, \text{s} \)
Ergebnis:
Da der Wirkungsgrad nur 20 % beträgt, muss man das 5-Fache an Zeit, also etwa 5 Stunden aufwenden.
Der Wirkungsgrad beschreibt, wie effizient ein Gerät oder Vorgang ist, indem die Wirkung bzw. den Nutzen und der Aufwand ins Verhältnis gesetzt werden.
Gegeben:
Energieaufwand \(E_\text{zu} = 7500 \, \text{kJ} \)
Energiezufuhr \(E_\text{nutz} = 2550 \, \text{kJ} \)
Gesucht:
Wirkungsgrad \(\eta \)
Berechnung:
\(\eta= \frac{E_\text{nutz}}{E_\text{zu}} \)
\(\eta = \frac{2550 \, \text{kJ}}{7500 \, \text{kJ}} = 0,34\)
Ergebnis:
Der Motor hat einen Wirkungsgrad von \(0,34 = 34 \, % \).
Gegeben:
Wirkungsgrad \(\eta = 0,6 \)
Energieaufwand \(E_\text{zu} = 24 \, \text{kJ} \)
Gesucht:
Energiezufuhr \(E_\text{nutz} \)
Berechnung:
\(\eta = \frac{E_\text{nutz}}{E_\text{zu}} \Rightarrow E_\text{nutz} = \eta \cdot E_\text{zu} \)
\(E_\text{nutz} = 0,6 \cdot 24 \, \text{kJ} = 14,4 \, \text{kJ} \)
Ergebnis:
Die Bohrmaschine nutzt \(14,4 \, \text{kJ} \) der zugeführten Energie.