Hier findest du die Lösungen zu den Check-up-Aufgaben des Kapitels Mechanik.
Beispiele:
- geradlinige Bewegung: Auto auf gerader Straße mit konstanter Geschwindigkeit
- Kreisbewegung: Karussell, Zeiger einer Uhr
- Schwingung: Pendeluhr, Schaukel
Ein Auto, das eine kurvige Straße entlangfährt, bewegt sich auf einer gekrümmten Bahn. Auch ein Blatt, dass im Wind weht, bewegt sich auf keiner der obigen Bahnformen.
a) Andreas Geschwindigkeit ändert sich nicht. Sie bewegt sich also gleichförmig.
b) Die Geschwindigkeit eines Rollbands ist konstant. Alex bewegt sich gleichförmig mit dem Band.
c) Der Zug wird beim Anfahren schneller, d. h., seine Geschwindigkeit ändert sich. Der Zug bewegt sich ungleichförmig.
Hinweis: In der Wertetabelle muss es zur Zeit \(t = 6,0 \, \text{s} \) heißen: \(s = 0,30 \, \text{m} \)
a)
© Cornelsen/Franz-Josef Domke
b) Berechnung über \(v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \) ergibt:
| \(t \) in s | 0 | 2,0 | 4,0 | 6,0 | 8,0 |
| \(s \) in m | 0 | 0,11 | 0,18 | 0,30 | 0,42 |
| \(v \) in \( \frac{\text{m}}{\text{s}} \) | – | 0,06 | 0,05 | 0,05 | 0,05 |
c) Im Diagramm lässt sich eine Gerade sinnvoll durch die Messpunkte legen. Es handelt sich hier also annähernd um eine gleichförmige Bewegung. Auch die berechneten Geschwindigkeiten sind im Rahmen der Messgenauigkeit konstant. Ungenauigkeiten entstehen z. B. durch die Reaktionszeit beim Stoppen der Zeit.
Gegeben:
Zeitspanne \(\Delta t = 18 \, \text{min} = 0,3 \, \text{h} \)
Ortsänderung \(\Delta s = 2,4 \, \text{km} \)
Gesucht:
Durchschnittsgeschwindigkeit \(v \)
Berechnung:
\(v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \)
\(v = \frac{2,4 \, \text{km}}{0,3 \, \text{h}} = 8 \, \frac{\text{km}}{\text{h}}\)
Ergebnis:
Mohammed fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von \(8 \, \frac{\text{km}}{\text{h}}\).
Die Momentangeschwindigkeit eines Körpers ist dessen Geschwindigkeit zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt. Sie gibt an, wie schnell sich der Körper genau in diesem Moment bewegt.
Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist die mittlere Geschwindigkeit eines Körpers über eine bestimmte Zeitspanne hinweg. Sie wird berechnet, indem man die insgesamt zurückgelegte Strecke durch die dafür benötigte Zeit teilt.
Je größer die Masse einer Kugel bei gleich starker Einwirkung ist, desto länger muss eingewirkt werden, um die gleiche Geschwindigkeitsänderung zu erreichen.
Gegeben:
Masse \(m = 1600 \, \text{kg} \)
Geschwindigkeitsänderung \(\Delta v = 100 \, \frac{\text{km}} {\text{h}} = 27,8 \, \frac{\text{m}} {\text{s}}\)
Zeitspanne \(\Delta t = 3,5 \, \text{s} \)
Gesucht:
Kraft \(F \)
Berechnung:
\(F \cdot \Delta t = \Delta v \cdot m \Rightarrow F = \frac{\Delta v \, \cdot \, m}{\Delta t} \)
\(F = \frac{27,8 \, \frac{\text{m}} {\text{s}} \, \cdot \, 1600 \, \text{kg}}{3,5 \, \text{s}} \)
\(F = 12708 \, \frac{\text{kg} \, \cdot \, \text{m}}{\text{s}^2} =12,7 \, \text{kN}\)
Ergebnis:
Es ist eine Kraft von \(F = 12,7 \, \text{kN}\) notwendig.
a) Die zum Beschleunigen notwendige Kraft ist direkt proportional zur Masse des Körpers, der beschleunigt werden soll.
b) Mögliche Auswirkungen:
- Die Geschwindigkeitsänderung ist relativ klein.
- Die Kraft zum Anfahren ist größer als gewöhnlich.
- Die Zeit, die man zum Anfahren/Beschleunigen braucht, ist größer als unter normalen Umständen
a) Gegeben:
Masse \(m = 410 \, \text{g} = 0,41 \, \text{kg} \)
Geschwindigkeit \(v = 8 \, \frac{\text{m}} {\text{s}} \)
Zeitspanne \(\Delta t_\text{Fuß} = 0,15 \, \text{s} \)
Zeitspanne \(\Delta t_\text{Scheibe} = 0,005 \, \text{s} \)
Gesucht:
Kräfte \(F_\text{Abschuss} \), \(F_\text{Flug} \) und \(F_\text{Scheibe} \)
Berechnung:
\(F \cdot \Delta t = \Delta v \cdot m \Rightarrow F = \frac{\Delta v \, \cdot \, m}{\Delta t} \)
\(F_\text{Abschuss} = \frac{8 \, \frac{\text{m}} {\text{s}} \, \cdot \, 0,41 \, \text{kg}}{0,15 \, \text{s}} = 21,9 \, \text{N}\)
\(F_\text{Flug} = \frac{0 \, \frac{\text{m}} {\text{s}} \, \cdot \, 0,41 \, \text{kg}}{\Delta t}\)
Da keine Geschwindigkeitsänderung auftritt, wird auch keine Kraft ausgeübt, wird \(\Delta t\) auch noch gleich null gesetzt, ist die Rechnung nicht möglich. Der Ball kann also keine Kraft besitzen.
\(F_\text{Scheibe} = \frac{8 \, \frac{\text{m}} {\text{s}} \, \cdot \, 0,41 \, \text{kg}}{0,005 \, \text{s}} = 656 \, \text{N}\)
b) Die Kräfte sind jeweils in Richtung der Geschwindigkeitsänderung gerichtet. Beim Abschuss in Flugrichtung, beim Aufprall in die entgegengesetzte Richtung.
c) Beim Abschuss wirkt der Fuß auf den Ball ein, beim Flug gibt es keine Geschwindigkeitsänderung, sodass auch keine Kraft einwirkt, und beim Aufprall wirkt die Scheibe auf den Ball ein.
d) Nach Erics Aussage würde beim Abschuss die Kraft auf den Ball übertragen. Der Ball würde dann die Kraft transportieren und gäbe diese Kraft dann an die Scheibe ab. Sowohl die Ergebnisse der Rechnungen als auch die Aussagen über die Richtungen der einzelnen Kräfte zeigen, dass es sich nicht um ein und dieselbe Kraft handeln kann. Kräfte sind nie Eigenschaften eines einzelnen Körpers und
werden auch nicht durch diesen Körper transportiert und übertragen. Kräfte geben nur an, wie stark ein Körper auf einen anderen einwirkt.
Ein Körper bleibt in Ruhe:
- Ein Buch liegt auf dem Tisch im Zimmer.
- Eine Lampe hängt an der Decke.
Ein Körper bewegt sich gleichförmig weiter:
- Eine Schneeflocke fällt vom Himmel.
- Ein Holzklotz treibt im Fluss.
Durch den Aufprall auf die Kante wird das Rad plötzlich gestoppt. Der Radfahrer bewegt sich aufgrund seiner Trägheit weiter und fliegt über den Lenker.
a) Gegeben:
Masse \(m = 90 \, \text{kg} \)
Ortsfaktor \(g_\text{Erde} = 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} \)
Ortsfaktor \(g_\text{Mond} = 1,62 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} \)
Gesucht:
Gewichtskräfte \(F_\text{G,Erde} \) und \(F_\text{G,Mond} \)
Berechnung:
\(F_\text{G} = m \cdot g\)
\(F_\text{G,Erde} = 90 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} = 882,9 \, \text{N}\)
\(F_\text{G,Mond} = 90 \, \text{kg} \cdot 1,62 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} = 145,8 \, \text{N}\)
Ergebnis:
Die Erde zieht die Astronautin mit einer Gewichtskraft von \(F_\text{G,Erde} = 882,9 \, \text{N}\) an; der Mond mit einer Gewichtskraft von \(F_\text{G,Mond} = 145,8 \, \text{N}\).
b) Die Masse ist unabhängig vom Ort, also hat die Astronautin auch auf dem Mond eine Masse von 90 kg. Die Waage misst die Gewichtskraft, aber für die Zwecke auf der Erde wird sie auf Kilogramm skaliert.
Langsames Ziehen:
Teller und Decke haften aneinander. Solange die Kraft, mit der man an der Decke zieht, nicht zu groß ist, bewegt sich der Teller aufgrund der Haftreibung mit der Decke mit.
Schnelles Ziehen:
Die Tischdecke gleitet unter dem Teller weg. Die Kraft ist nun größer als die maximale Haftreibung. Da keine Kraft mehr in Zugrichtung auf den Teller wirkt, bleibt er an Ort und Stelle stehen.
a) Für beide Federn gilt, dass sich mit zunehmender Kraft die Dehnung gleichmäßig vergrößert. Kraft und Dehnung sind direkt proportional zueinander. Daher gilt für beide Federn im gezeigten Bereich das Hookesche Gesetz.
b) Der Anstieg des Graphen von Feder 1 ist größer, d. h., er verläuft steiler. Auf Feder 1 muss also eine größere Kraft als auf Feder 2 ausgeübt werden, um die gleiche Dehnung hervorzurufen. Die Feder 1 ist also demnach härter.
Berechnung:
Feder 1: \(D_1 = \frac{F}{s} = \frac{8,5 \, \text{N}} {0,06 \, \text{m}} = 142 \, \frac{\text{N}}{\text{m}} \)
Feder 2: \(D_2 = \frac{F}{s} = \frac{9,0 \, \text{N}} {0,09 \, \text{m}} = 100 \, \frac{\text{N}}{\text{m}} \)
Gegeben:
Federhärte \(D = 280 \, \frac{\text{N}}{\text{mm}} \)
Masse \(m = 200 \, \text{kg} \)
Gesucht:
Dehnung \(s \)
Berechnung:
\(F = D \cdot s \Rightarrow s = \frac{F}{D} = \frac{m \, \cdot \, g}{D} \)
\(s = \frac{200 \text{kg} \, \cdot \, 9,81 \frac{\text{N}}{\text{kg}}}{280 \, \frac{\text{N}}{\text{mm}}} \)
\(s = 7 \, \text{mm} \)
Ergebnis:
Die Federn dehnen sich um 7 mm.
a) Solange die Kiste noch ruht, wirkt die Haftreibungskraft entgegen der angreifenden Kraft, bis sie einen maximalen Wert erreicht. Wird die angreifende Kraft größer als die maximale Haftreibung, beginnt die Kiste zu gleiten. Nun wirkt Gleitreibung. Die Gleitreibung ist in der Regel kleiner als die maximale Haftreibung, was bedeutet, dass weniger Kraft erforderlich ist, um die Kiste weiter in Bewegung zu halten.
b) Gegeben:
Masse \(m = 65 \, \text{kg} \)
maximale Haftreibungskraft \(F_\text{H} = 570 \, \text{N} \)
Gleitreibungskraft \(F_\text{Gl} = 240 \, \text{N} \)
Gesucht:
Haftreibungszahl \(\mu_\text{H} \) und Gleitreibungszahl \(\mu_\text{G} \)
Berechnung:
Normalkraft:
\(F_\text{N} = m \cdot g = 65 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} = 638 \, \text{N}\)
Haftreibungszahl:
\(F_\text{H} = \mu_\text{H} \cdot F_\text{N} \Rightarrow \mu_\text{H} = \frac{F_\text{H}}{F_\text{N}}\)
\(\mu_\text{H} = \frac{570 \, \text{N}}{638 \, \text{N}} = 0,89\)
Gleitreibungszahl:
\(F_\text{Gl} = \mu_\text{G} \cdot F_\text{N} \Rightarrow \mu_\text{G} = \frac{F_\text{Gl}}{F_\text{N}}\)
\(\mu_\text{G} = \frac{240 \, \text{N}}{638 \, \text{N}} = 0,38\)
Ergebnis:
Die Haftreibungszahl beträgt \(\mu_\text{H} = 0,89 \) und die Gleitreibungszahl \(\mu_\text{G} = 0,38 \).
Beim Sprung vom Skateboard kommen sowohl das Wechselwirkungsgesetz als auch die Grundgleichung der Mechanik zum Tragen.
Wenn Buket abspringt, drückt sie mit ihren Füßen das Skateboard nach hinten unten. Gleichzeitig übt das Skateboard eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft auf Buket aus – es drückt sie nach vorne oben weg. Diese Kraft bewirkt, dass Buket sich in die Luft erhebt und das Skateboard in die entgegengesetzte Richtung rollt.
Sowohl Buket als auch das Skateboard erfahren nach der Grundgleichung der Mechanik eine Geschwindigkeitsänderung. Buket erfährt durch die Kraft des Skateboards eine Geschwindigkeitsänderung oben und vorne. Das Skateboard, das eine viel geringere Masse hat als Buket, erfährt aufgrund derselben Kraft eine größere Geschwindigkeitsänderung nach hinten. Da die Kräfte gleich groß sind, aber die Massen unterschiedlich, bewegt sich das Skateboard schneller nach hinten als Buket nach vorne.
a) Entsprechend dem Wechselwirkungsgesetz haben die Kräfte auf das Gas und auf die Rakete den gleichen Betrag. Also beträgt auch die Schubkraft 17,5 MN.
b) Solange Treibstoff vorhanden ist, kann die Rakete beschleunigen – auch im luftleeren Weltraum. Beim Ausstoßen des heißen Antriebsgases wird eine große Kraft auf das Gas ausgeübt. Die gleich große Kraft wirkt auf die Rakete und bewegt sie vorwärts.