Aufgabe:
Eine Gärtnerin bewässert aus \(1,2 \, \text{m} \) Höhe die Rosen. Das Wasser tritt waagerecht mit einer Geschwindigkeit von \(5,0 \, \frac {\text{m}} {\text{s}}\) aus dem Schlauch aus. Bestimme den Abstand der Gärtnerin von den Rosen und die Geschwindigkeit, mit der das Wasser auf das Beet trifft.
Lösung:
Vorüberlegung:
Die Bewegung wird im Modell des waagerechten Wurfs idealisiert. Da der Luftwiderstand nicht berücksichtigt wird, werden in der Realität der Abstand und die Endgeschwindigkeit geringer sein. Es gelten die Bewegungsgleichungen, wenn der Nullpunkt des Koordinatensystems in die Spritzdüse gelegt wird. Die Fallstrecke ist negativ anzusetzen.
Gegeben:
Fallhöhe \(h = 1,2 \, \text{m} \)
Anfangsgeschwindigkeit \(v_{\text{0}} = 5,0 \, \frac {\text{m}} {\text{s}} \)
Gesucht:
Wurfweite \(s_{\text{W}} \), dazu wird die Wurfzeit \(t_{\text{W}} \) benötigt.
Geschwindigkeit \(v(t) \) zum Zeitpunkt \(t_{\text{W}} \)
Berechnung:
Wurfzeit:
\(s_y(t_{\text{W}}) = -h \) und \(s_y(t_{\text{W}}) = -\frac{1}{2} \cdot g \cdot t_{\text{W}}^2 \)
\(h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_{\text{W}}^2 \)
\(t_{\text{W}} = \sqrt{2 \cdot \frac{h}{g}} \)
\(t_{\text{W}} = \sqrt{2 \cdot \frac{1,2 \, \text{m}}{9,81 \, \frac{\text{m}} {\text{s}^2}}} = 0,49 \, \text{s} \)
Wurfweite:
\(s_{\text{W}} = s_x(t_{\text{W}}) = v_{\text{0}} \cdot t_{\text{W}} = 5,0 \, \frac {\text{m}} {\text{s}} \cdot 0,49 \, \text{s} = 2,5 \, \text{m}\)
Geschwindigkeit:
\(v(t_{\text{W}}) = \sqrt{v_x^2 + v_y^2(t_{\text{W}})} = \sqrt{v_0^2 + (-g \cdot t_{\text{W}})^2}\)
\(v(t_{\text{W}}) = \sqrt{(5,0 \, \frac {\text{m}} {\text{s}})^2 + (9,81 \, \frac {\text{m}} {\text{s}^2} \cdot 0,49 \, \text{s})^2} = 6,9 \, \frac {\text{m}} {\text{s}} \)
Ergebnis:
Die Rosen befinden sich maximal \(2,6 \, \text{m} \) von der Gärtnerin entfernt. Mit höchstens \(6,9 \, \frac {\text{m}} {\text{s}} \) trifft der Strahl auf das Beet.